ワードプレスのバージョンが、5.1で止まっていた。
そして、ダッシュボードでは5.4への更新の催促があるものの、PHPが5.3だから更新できないとの表示。

You cannot update because WordPress 5.4.1 requires PHP version 5.6.20 or higher. You are running version 5.3.29.

あちこちググった。
レンタルサーバーのPHPのバージョンを7.3に変えてみた。（ここまで数時間）
　→ なんと、ワードプレスが動かなくなった。
PHPのバージョンを5.6に戻してみた。
　→ 動いた！　が、ワードプレスが更新できないのは変わらない。

あちこちググって２日目。全く情報を見いだせず数時間。
諦めて、サポートにメールした。
　→ 夜分にもかかわらず、２時間で返信が。

【以下返信文】
ご連絡いただきましたサーバー内を確認いたしましたところ、現在
「/public_html/hajime.info/wp-admin/.htaccess」にて、
デフォルトの「PHP5.3」で動作させる設定が行われているように
お見受けいたします。
現状、「.htaccess」内に
——————–
AddHandler application/x-httpd-php53cgi .php
——————–
といった記載がございますため、こちらの記述をコメントアウト、または
削除いただいてから、WordPressのバージョンアップをお試しいただければ
幸いでございます。
【ここまで】

→ コメントアウトの方法をググって、.htaccessファイルを開き、行頭に「#_」をつけた。
→ 無事更新！

サポートさん、ビンゴ！　パーフェクト！！
ありがとうございました。